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SVD（奇异值分解）

奇异值分解 (SVD) 是一种矩阵分解方法，它允许您将 n×p 维矩阵 X 近似为 3 个矩阵的乘积：X(nxp) = U(nxk).S(kxk).VT(kxp)，其中 k 是从 1 到 p 的整数，S 是对角矩阵。其对角线上的值为非负值（称为奇异值），按左上角最大、右下角最小的顺序排序。S 的所有其他元素为零。

在实践中，矩阵 V(pxk)（即 VT 的转置版本）更受欢迎。

如果 k（分解算法的输入参数，也称为要保留在输出中的组件数）等于 p，则分解是精确的。如果 k 小于 p，则分解变为近似值。

SVD 的一个应用是有损数据压缩。例如，存储 X 需要 n.p 个元素，而存储三个矩阵 U、S 和 VT 需要存储 n.k + k + k.p 个元素。如果 n=1000、p=10 和 k=2，存储 X 需要 10,000 个元素，而存储近似值需要 2,000+4+20 = 2,024 个元素。较小的 k 值更加节省存储空间，而较大的 k 值会提供更准确的近似值。

根据您的数据，奇异值可能会迅速减少，从而允许您选择一个远小于 p 值的 k 值。

SVD 的另一个常见应用是执行主分量分析。

可以使用以下函数来训练和应用 SVD 模型：

有关完整示例，请参阅计算 SVD。

1 - 计算 SVD

该 SVD 示例使用名为 small_svd 的小数据集。该示例向您展示了如何使用给定的数据集计算 SVD。该表是一个数字矩阵。奇异值分解是使用 SVD 函数计算的。该示例计算表矩阵的 SVD 并将其赋给一个新对象，该对象包含一个向量以及两个矩阵 U 和 V。向量包含奇异值。第一个矩阵 U 包含左奇异向量，V 包含右奇异向量。

开始示例之前，请加载机器学习示例数据。

  1. 创建名为 svdmodel 的 SVD 模型。

    => SELECT SVD ('svdmodel', 'small_svd', 'x1,x2,x3,x4');
SVD
--------------------------------------------------------------

    Finished in 1 iterations.
Accepted Rows: 8  Rejected Rows: 0
(1 row)

  2. 查看 svdmodel 的摘要输出。

    
=> SELECT GET_MODEL_SUMMARY(USING PARAMETERS model_name='svdmodel');
GET_MODEL_SUMMARY
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------
=======
columns
=======
index|name
-----+----
1    | x1
2    | x2
3    | x3
4    | x4
===============
singular_values
===============
index| value  |explained_variance|accumulated_explained_variance
-----+--------+------------------+------------------------------
1    |22.58748|      0.95542     |            0.95542
2    | 3.79176|      0.02692     |            0.98234
3    | 2.55864|      0.01226     |            0.99460
4    | 1.69756|      0.00540     |            1.00000
======================
right_singular_vectors
======================
index|vector1 |vector2 |vector3 |vector4
-----+--------+--------+--------+--------
1    | 0.58736| 0.08033| 0.74288|-0.31094
2    | 0.26661| 0.78275|-0.06148| 0.55896
3    | 0.71779|-0.13672|-0.64563|-0.22193
4    | 0.26211|-0.60179| 0.16587| 0.73596
========
counters
========
counter_name      |counter_value
------------------+-------------
accepted_row_count|      8
rejected_row_count|      0
iteration_count   |      1
===========
call_string
===========
SELECT SVD('public.svdmodel', 'small_svd', 'x1,x2,x3,x4');
(1 row)

  3. 创建名为 Umat 的新表以获取 U 的值。

    => CREATE TABLE Umat AS SELECT APPLY_SVD(id, x1, x2, x3, x4 USING PARAMETERS model_name='svdmodel',
exclude_columns='id', key_columns='id') OVER() FROM small_svd;
CREATE TABLE

  4. 在 Umat 表中查看结果。该表将矩阵转换为新坐标系。

    => SELECT * FROM Umat ORDER BY id;
  id |        col1        |        col2        |        col3         |        col4
-----+--------------------+--------------------+---------------------+--------------------
1    | -0.494871802886819 | -0.161721379259287 |  0.0712816417153664 | -0.473145877877408
2    |  -0.17652411036246 | 0.0753183783382909 |  -0.678196192333598 | 0.0567124770173372
3    | -0.150974762654569 | -0.589561842046029 | 0.00392654610109522 |  0.360011163271921
4    |  -0.44849499240202 |  0.347260956311326 |   0.186958376368345 |  0.378561270493651
5    | -0.494871802886819 | -0.161721379259287 |  0.0712816417153664 | -0.473145877877408
6    |  -0.17652411036246 | 0.0753183783382909 |  -0.678196192333598 | 0.0567124770173372
7    | -0.150974762654569 | -0.589561842046029 | 0.00392654610109522 |  0.360011163271921
8    |  -0.44849499240202 |  0.347260956311326 |   0.186958376368345 |  0.378561270493651
(8 rows)

  5. 然后，我们可以选择将数据从 Umat 转换回 Xmat。首先，我们必须创建 Xmat 表，然后将 APPLY_INVERSE_SVD 函数应用于该表：

    => CREATE TABLE Xmat AS SELECT APPLY_INVERSE_SVD(* USING PARAMETERS model_name='svdmodel',
exclude_columns='id', key_columns='id') OVER() FROM Umat;
CREATE TABLE

  6. 然后，查看所创建的 Xmat 表中的数据： 

    => SELECT id, x1::NUMERIC(5,1), x2::NUMERIC(5,1), x3::NUMERIC(5,1), x4::NUMERIC(5,1) FROM Xmat
ORDER BY id;
id | x1  | x2  | x3  | x4
---+-----+-----+-----+-----
1  | 7.0 | 3.0 | 8.0 | 2.0
2  | 1.0 | 1.0 | 4.0 | 1.0
3  | 2.0 | 3.0 | 2.0 | 0.0
4  | 6.0 | 2.0 | 7.0 | 4.0
5  | 7.0 | 3.0 | 8.0 | 2.0
6  | 1.0 | 1.0 | 4.0 | 1.0
7  | 2.0 | 3.0 | 2.0 | 0.0
8  | 6.0 | 2.0 | 7.0 | 4.0
(8 rows)

另请参阅